小球碰撞问题中的统计学

朋友给我发了一道笔试题让我帮忙做。题目大概是这样：

(1) 有 1 个小球放在一个 1m 长的光滑凹槽里，小球初始位置随机（均匀分布），初始速度 1m/s，方向随机。求小球滑出凹槽的期望值。
(2) 如果有 2 个小球，且小球碰撞为刚性碰撞，求两个小球全部从凹槽掉落的时间期望值。
(3) 如果有 n 个小球呢？

这道题其实用直觉做很简单。主要有两个关窍： 1. 刚性碰撞后，小球交换速度 动量守恒+能量守恒 2. n 个小球在轨道上均匀分布大概是什么样？ 其期望就是均匀把轨道分成 n + 1 份。

因此答案是：1/2，2/3，和 n/(n+1)

当然，这完全不够严谨。下面进入数学部分。

N 个独立同分布最大值的期望

这道题可以提炼出一个数学问题，即求 N 个独立同分布最大值的期望。

假设 \(Y\) 是 N 个随机变量的最大值，则 \(Y\) 的累积分布函数（Cumulative Distribution Function）为：

\[G(y) = P(Y \leq y) = P( \max(X_1, X_2, ..., X_n) \leq y)\]

由于 X 相互独立，上式等价于：

\[\begin{align} G(y) &= P(X_1 \leq y) P( X_2 \leq y) P(X_n \leq y) \\ &= F^n(y) \end{align}\]

其中 \(F\) 表示 \(X\) 的累积分布函数。

那么 \(Y\) 的期望值可以表示为：

\[\begin{align} E(Y) &= \int_a^b y G'(y) dy \\ &= yG(y)|_a^b - \int_a^bG(y)dy \\ &= b - \int_a^bF^n(y)dy \end{align}\]

均匀分布情形

对于 \((a, b)\) 区间上的均匀分布有：

\[F(x) = \frac{x-a}{b-a}\]

故

\[\begin{align} E(Y) &= b - \int_a^bF^n(y)dy \\ &= b - \frac{1}{(b-a)^n} \int_a^b(y-a)^n dy \\ &= b - \frac{b-a}{n+1} \\ &= \frac{a + nb}{n+1} \end{align}\]

带入题目中的区间 \((0,1)\) 得到：

\[E(Y) = \frac{n}{n+1}\]