The Black-Scholes-Merton model

在 1970 年代，Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton 提出了一个重要的欧式期权定价模型。这个模型基于以下 7 条假设：

股票价格符合伊藤过程 $\frac{d S}{S} = μ d t + σ d z$
允许卖空证券并充分利用收益
没有交易费用和税，所有证券完全可分割
在期权期限内，股票不支付股息
不存在无风险套利机会
证券交易连续进行
无风险利率 $r$ 是常数并且对所有期限相同

注意，这其中并不包含风险中性假设。从根本上讲，风险中性假设只是一个数学上的求解技巧，即使不使用这个技巧，一样可以通过暴力求解 PDE 得到同样的结果（Feynman-Kac Theorem）。这一点非常重要，因为真实世界明显不是风险中性的，BSM 公式也不可能基于这么一个不靠谱的假设。

14.6 Black-Scholes-Merton 微分方程

根据假设，股票的价格服从以下伊藤过程：

\frac{d S}{S} = μ d t + σ d z

我们的目标，也就是以该股票为标的物的看涨期权的价格 $C$ 肯定是 $S$ 和 $t$ 的函数。根据伊藤引理，得到：

d C = (\frac{\partial C}{\partial S} μ S + \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} C}{\partial S^{2}} σ^{2} S^{2}) d t + \frac{\partial C}{\partial S} σ S d z

这是一个随机微分方程，我们很难直接求解。于是我们希望利用 $S$ 和 $C$ 的线性组合消去其随机项。

构造一个 portfolio $V = Q_{S} S + Q_{C} C$ ，其中 $Q_{S}$ 和 $Q_{C}$ 分别是股票和看涨期权的数量。为了消除随机项 $d z$ ，我们需要：

Q_{S} σ S + Q_{C} \frac{\partial C}{\partial S} σ S = 0

我们可以令 $Q_{S} = \frac{\partial C}{\partial S}$ ， $Q_{C} = - 1$ 。

值得注意的是，我们通过这样实际构造了一个无风险的 portfolio，同时，股票的数量也是 Greeks 里面的 delta。 由于这是一个无风险的 portfolio，其波动率为 0，期望收益等于无风险利率 $r$ 。因此：

d V = r V d t

并且

d V = Q_{S} d S + Q_{C} d C

带入得：

\frac{\partial C}{\partial S} r S + \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} C}{\partial S^{2}} σ^{2} S^{2} = r C

这就是 Black-Scholes-Merton 微分方程。这个方程的精妙之处在于我们消掉了随机项和期望收益率 $μ$ 这两个非常复杂的部分。

这个方程有很多解，对应于各种衍生品。假设一个衍生品不满足这个微分方程，例如 $e^{S}$ ，则该衍生品不可能存在，因为一定存在套利机会。

14.7 风险中性定价

我们注意到，推导出的 Black-Scholes-Merton 微分方程不含期望收益 $μ$ ，这也从证明了我们在用二叉树进行定价时的风险中性假设的正确性。因为它与投资人的风险偏好无关。我们就可以放心使用风险中性假设简化计算。

假设从标的物获得的期望收益就是无风险利率 $r$
计算衍生品的期望的 payoff
将期望的 payoff 折现，折现率也等于无风险利率 $r$

例

假设一个远期合约多头到期日为 $T$ ，执行价格为 $K$ ，目前现货价格是 $S_{0}$ ，无风险利率为 $r$ ，则远期合约价格为？

假设到期日标的物价格为 $S_{T}$ ，则利用以上三个步骤，可以得到：

f = e^{- r T} E (S_{T} - K) = e^{- r T} E (S_{T}) - K e^{- r T}

由于我们的期望收益率为无风险利率 $r$ ，则有 $E (S_{T}) = S_{0} e^{r T}$ ，带入可以得到：

f = S_{0} - K e^{- r T}

这符合我们利用无套利假设得出的结论。

14.8 Black-Scholes-Merton 定价公式

在这里，我们将利用风险中性定价原理来推导 BSM 定价公式。这样可以避免解偏微分方程的复杂度。

14.8.1 计算 payoff 期望

以欧式看涨期权为例，其在到期日 $T$ 的 payoff 为 $f = max (S - K, 0)$ 。它的价格应该为 payoff 的期望折现后的值。因此问题转化为求：

E (max (S - K, 0)) = \int_{K}^{\infty} (S - K) g (S) d S

其中 $g (S)$ 代表股票价格为 $S$ 的概率。那么如何得到 $g (S)$ 呢？

我们已经假设 $S$ 服从伊藤过程：

\frac{d S}{S} = μ d t + σ d z

令 $G = \ln (S)$ ，由伊藤引理，可以得到：

d G = (μ - \frac{1}{2} σ^{2}) d t + σ d z

因此股票价格 取对数后 的变化量 $\ln (S_{T}) - \ln (S_{0})$ 服从正态分布 $N ((μ - \frac{1}{2} σ^{2}) T, σ^{2} T)$ 。

为了表示方便，我们记作 $\ln (S_{T})$ 服从 $N (m, w^{2})$ 。

令 $Q = \frac{\ln (S) - m}{w}$ ，则 $Q$ 服从标准正态分布 $N (0, 1)$ 。并有 $S = e^{Q w + m}$ 。

我们可以将 payoff 期望改写为：

E (max (S - K, 0)) = \int_{(\ln (K) - m) / w}^{\infty} (e^{Q w + m} - K) h (Q) d Q

分为两部分：

E (max (S - K, 0)) = \int_{(\ln (K) - m) / w}^{\infty} e^{Q w + m} h (Q) d Q - K \int_{(\ln (K) - m) / w}^{\infty} h (Q) d Q

其中 $h (Q)$ 为标准正态分布密度函数：

h (Q) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{Q^{2}}{2}}

我们将该式代入第一部分，得到：

\int_{(\ln (K) - m) / w}^{\infty} e^{Q w + m} h (Q) d Q = e^{m + \frac{w^{2}}{2}} \int_{(\ln (K) - m) / w}^{\infty} h (Q - w) d Q

假设 $Φ (x)$ 表示标准正态分布变量小于 $x$ 的概率，则：

\int_{(\ln (K) - m) / w}^{\infty} h (Q - w) d Q = 1 - Φ (\frac{\ln (K) - m}{w} - w) = Φ (w - \frac{\ln (K) - m}{w})

同理，对于第二部分，有：

\int_{(\ln (K) - m) / w}^{\infty} h (Q) d Q = Φ (- \frac{\ln (K) - m}{w})

其中：

m = \ln (S_{0}) + (μ - \frac{1}{2} σ^{2}) T

w = σ \sqrt{T}

因此得出结论：

E (max (S - K, 0)) = S_{0} e^{μ T} Φ (d_{1}) - K Φ (d_{2})

其中：

d_{1} = \frac{\ln (\frac{S_{0}}{K}) + (μ + \frac{1}{2} σ^{2}) T}{σ \sqrt{T}}

d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T}

14.8.2 应用风险中性假设

我们在 14.7 中已经证明了可以使用风险中性定价。那么期望收益 $μ$ 和贴现率都等于无风险利率 $r$ 。代入 14.8.1 得出的 payoff，贴现后得出该欧式看涨期权价格：

c = S_{0} Φ (d_{1}) - K e^{- r T} Φ (d_{2})

其中：

d_{1} = \frac{\ln (\frac{S_{0}}{K}) + (r + \frac{1}{2} σ^{2}) T}{σ \sqrt{T}}

d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T} = \frac{\ln (\frac{S_{0}}{K}) + (r - \frac{1}{2} σ^{2}) T}{σ \sqrt{T}}

利用 put-call-parity：

c + K e^{- r T} = p + S_{0}

可以算出对应的欧式看跌期权的价格：

p = K e^{- r T} Φ (- d_{2}) - S_{0} Φ (- d_{1})

例 1

某欧式看跌期权执行价格为 50$，期限为 3 个月。标的股票当前价格为 50$，波动率为 30%每年。无风险利率为 10% 每年。计算该欧式看跌期权的价格。如果在 2 个月后将派发 1.5$ 的股息，结果会如何变化？

将 $K = 50$ ， $S_{0} = 50$ ， $r = 0.1$ ， $σ = 0.3$ ， $T = 0.25$ 代入 BSM 公式。可以得到：

p = 50 \times e^{- 0.1 \times 0.25} Φ (- d_{2}) - 50 Φ (- d_{1})

其中：

d_{1} = \frac{\ln (\frac{50}{50}) + (0.1 + \frac{1}{2} \times {0.3}^{2}) \times 0.25}{0.3 \times \sqrt{0.25}} = \frac{29}{120}

d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T} = \frac{11}{120}

有 $Φ (- d_{1}) = 0.4052$ ， $Φ (- d_{2}) = 0.4641$ 。

因此 $p = 2.372$ 。

如果两个月后会派发股息，说明现在的股票价格中包含了股息贴现后的价值。在应用 BSM 公式之前，我们需要先将其去掉。因此：

S = 50 - 1.5 e^{- 2 / 12 \times 0.1} = 48.5248

再按照以上的方法计算，得到 $d_{1} = 0.042$ $d_{2} = - 0.108$ 。

p = 50 \times e^{- 0.1 \times 0.25} Φ (- d_{2}) - 48.5248 Φ (- d_{1}) = 3.033

这符合我们之前的结论，对于派发股息的股票，看跌期权价值会升高

例 2

股票价格为 $40，期望回报率为 15%，波动率为 25%。则 2 年收益率的概率分布是什么？

股票价格变化满足对数正态分布，即：

\ln (\frac{S_{T}}{S_{0}}) \sim N ((μ - \frac{σ^{2}}{2}) T, σ^{2} T)

假设要求的收益率为 $r$ ，满足：

S_{T} = S_{0} e^{r T}

则显然

r = \frac{1}{T} \ln (\frac{S_{T}}{S_{0}}) \sim N (μ - \frac{σ^{2}}{2}, \frac{σ^{2}}{T})

因此收益率的分布为 $N (0.11875, 0.03125)$ 。

例 3

某股票价格服从几何布朗运动，期望回报率为 16%，波动率为 35%，当前价格为 $38。 (a). 某欧式看涨期权执行价格为 $40，到期日为 6 个月后，求它行权的概率。 (b). 与(a)中对应的欧式看跌期权的行权概率是多少

已知股票价格符合几何布朗运动，即满足：

\ln (\frac{S_{T}}{S_{0}}) \sim N ((μ - \frac{σ^{2}}{2}) T, σ^{2} T)

那么有：

\frac{\ln (\frac{S_{T}}{S_{0}}) - (μ - \frac{σ^{2}}{2}) T}{σ \sqrt{T}} \sim N (0, 1)

求行权概率实质上是求 $S_{T} > K$ 的概率。因此：

P (S_{T} > K) = 1 - Φ (\frac{\ln (\frac{K}{S_{0}}) - (μ - \frac{σ^{2}}{2}) T}{σ \sqrt{T}}) = Φ (- \frac{\ln (\frac{K}{S_{0}}) - (μ - \frac{σ^{2}}{2}) T}{σ \sqrt{T}})

代入 $K = 40$ $S_{0} = 38$ $μ = 0.16$ $σ = 0.35$ $T = 0.5$ ，得到该欧式看涨期权行权概率为 $Φ (- 0.007751) = 0.496$ 。

看跌期权行权概率即 $S_{T} < K$ 的概率，即 $1 - 0.496 = 0.504$ 。

例 4

考虑一个衍生品，其在 $T$ 时刻 payoff 为 $S_{T}^{n}$ ，其中 $S_{T}$ 是标的股票在 $T$ 时刻价格，服从几何布朗运动。它在 $t$ 时刻的价格可以表示为 $h (t, T) S^{n}$ ，其中 $S$ 表示 $t$ 时刻股票价格， $h$ 是关于 $t$ 和 $T$ 的函数。
(a) 利用 BSM 偏微分方程推导 $h (t, T)$ 的微分方程
(b) $h (t, T)$ 的边界条件是什么
(c) 求出 $h (t, T)$

(a) 将价格表示为 $f = h (t, T) S^{n}$ 。则该价格满足微分方程：

\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial S} r S + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial S^{2}} σ^{2} S^{2} = r f

我们可以算出

\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial h}{\partial t} S^{n}

\frac{\partial f}{\partial S} = n h S^{n - 1}

\frac{\partial^{2} f}{\partial S^{2}} = n (n - 1) h S^{n - 2}

代入有：

\frac{\partial h}{\partial t} + (n - 1) r h + \frac{1}{2} n (n - 1) σ^{2} h = 0

(b)

$h (t, T)$ 满足边界条件 $h (t, T) |_{t = T} = 1$

(c)

上式满足

\frac{h^{'}}{h} = - (n - 1) r - \frac{1}{2} n (n - 1) σ^{2}

令 $x = \ln (h)$ ，则有：

x^{'} = - (n - 1) r - \frac{1}{2} n (n - 1) σ^{2}

得出

x = [- (n - 1) r - \frac{1}{2} n (n - 1) σ^{2}] t + C

其中 $C$ 为常数。再根据边界条件 $x |_{t = T} = \ln (1) = 0$ ，得出：

x = [(n - 1) r + \frac{1}{2} n (n - 1) σ^{2}] (T - t)

因此：

h (t, T) = e^{[(n - 1) r + \frac{1}{2} n (n - 1) σ^{2}] (T - t)}

例 5

(a) 证明：在风险中性世界中，一个欧式看涨期权被行权的概率等于 $Φ (d_{2})$ 。
(b) 假设一个衍生品 payoff 为 $100 如果股票价格 $S$ 大于 $K$ ，求该衍生品的价格。

(a)

欧式看涨期权被行权的概率是 $P (S_{T} > K)$ 。而 $S_{T}$ 满足：

\ln (S_{T}) \sim N (\ln (S_{0}) + (μ - \frac{1}{2} σ^{2}) T, σ^{2} T)

由于对数函数的单调性， $P (S_{T} > K) = P (\ln (S_{T}) > \ln (K))$ ，且在风险中性世界中，有 $μ = r$ ，则：

P (S_{T} > K) = 1 - Φ (\frac{\ln (K) - \ln (S_{0}) - (r - \frac{1}{2} σ^{2}) T}{σ \sqrt{T}}) = 1 - Φ (- d_{2}) = Φ (d_{2})

(b)

利用上面的结论，可以得到该衍生品收益期望为 $100 Φ (d_{2})$ ，贴现后的即为当前价格：

100 e^{- r T} Φ (d_{2})

例 6

某银行的某款理财产品保证投资者在 6 个月后得到：
a. 0，如果股指下跌
b. 40% 股指收益
用股指期权来描述该产品的收益。
假设无风险利率是 8%，股息是 3%，波动率是 25%，这个理财产品值得买吗？

假设目前股指是 $S_{0}$ ，6 个月后股指为 $S_{t}$ 。我们可以知道其收益为：

max (0, 0.4 (S_{t} - S_{0}))

因此其实际上是相当于 0.4 倍的执行价格为 $S_{0}$ 的欧式看涨期权的收益。

我们可以计算执行价格为 $S_{0}$ ，到期日为 6 个月的欧式期权的价值：

c = S_{0} e^{- q T} Φ (d_{1}) - K e^{- r T} Φ (d_{2})

其中

d_{1} = \frac{\ln (\frac{S_{0}}{K}) + (r - q + \frac{1}{2} σ^{2}) T}{σ \sqrt{T}}

d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T}

将 $K = S_{0}$ ， $T = 0.5$ ， $q = 0.03$ ， $r = 0.08$ ， $σ = 0.25$ 代入：

c = 0.0814 S_{0}

假设投资金额为 $M$ ，该理财产品的现金流相当于在 0 时刻，免费获得了 $0.4 \frac{M}{S_{0}}$ 份看涨期权，其代价是剩余的资金无法赚取无风险利率。我们需要比较期权的价格以及无风险利率的收益。

现在我们假设有两个 portfolio A 和 B。 - A：全额购买该理财产品 - B：购买了 $0.4 \frac{M}{S_{0}}$ 份看涨期权，剩余资金用于赚取无风险利率

显然 B 购买的期权具有和 A 完全一致的 payoff。我们只需要比较其余资金。

对于 A，六个月后会获得 $M$ 外加 payoff。

对于 B，除了与 A 一致的 payoff，还有：

(M - 0.4 \frac{M}{S_{0}} c) e^{r T} = 1.007 M > M

因此显然该理财产品不划算。

14.4 计算历史波动率 $σ$

在 B-S-M 模型中，唯一难以确定的参数就是波动率 $σ$ 。在实际中，不能直接使用历史波动率，但是可以作为重要参考。以下提到的波动率都指历史波动率，而非实际（隐含）波动率。

$σ$ 用于衡量股票回报率的不确定性。我们将波动率 $σ$ 定义为 连续复利下股票 1 年中回报率的标准差。它一般在 15% 到 60% 之间。

连续复利下的股票回报率可以表示为：

x = \frac{1}{T} \ln (\frac{S_{T}}{S_{0}})

我们已经假设：

\ln (S_{T}) - \ln (S_{0}) \sim N ((μ - \frac{1}{2} σ^{2}) T, σ^{2} T)

因此回报率满足：

x \sim N (μ - \frac{1}{2} σ^{2}, \frac{σ^{2}}{T})

假设我们已经知道以某个较小采样间隔（例如每周） $Δ t$ 的股票回报率历史数据，我们可以估计其方差 $D$ 。

假设第 $i$ 个 $Δ t$ 内的回报率为 $u_{i}$ ，其平均值为 $\overset{―}{u}$ 。对于方差 $D$ 的无偏估计可以表示为：

\hat{D} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \overset{―}{u})^{2}

也可以写为：

\hat{D} = \frac{1}{n - 1} [\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\overset{―}{u}}^{2}]

然后根据下式求波动率的估计：

\hat{σ} = \sqrt{\hat{D} T}

这个 $T$ 表示一年时间，假设 $Δ t$ 是周，那么 $T = 365 / 7 = 52$ 。

例 1

假设我们观察到某个股票在连续 15 个周五的价格为：30.2; 32.0; 31.1; 30.1; 30.2; 30.3; 30.6; 33.0; 32.9; 33.0; 33.5; 33.5; 33.7; 33.5; 33.2。 (a) 估算该股票的波动率 (b) 这个波动率的估计的标准差是多少？

#	股票价格( $S$ )	相对价格( $S_{i + 1} / S_{i}$ )	周回报率( $u = \ln (S_{i + 1} / S_{i})$ )
1	30.2
2	32.0	1.05960	0.05789
3	31.1	0.97188	-0.02853
4	30.1	0.96785	-0.03268
5	30.2	1.00332	0.00332
6	30.3	1.00331	0.00331
7	30.6	1.00990	0.00985
8	33.0	1.07843	0.07551
9	32.9	0.99697	-0.00303
10	33.0	1.00304	0.00303
11	33.5	1.01515	0.01504
12	33.5	1.00000	0.00000
13	33.7	1.00597	0.00595
14	33.5	0.99407	-0.00595
15	33.2	0.99104	-0.00900

(a)

首先计算得到：

\sum_{i = 1}^{n} u_{i} = 0.09471

\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} = 0.01145

计算得

\hat{D} = \frac{1}{13} (0.01145 - \frac{{0.09471}^{2}}{14}) = 0.0008315

σ = \sqrt{0.0008315 \times 52} = 0.208

(b)

这个估计本身的标准差为

\frac{σ}{\sqrt{2 n}} = \frac{0.208}{\sqrt{2 \times 14}} = 0.0393