The Black-Scholes-Merton model

在 1970 年代，Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton 提出了一个重要的欧式期权定价模型。这个模型基于以下 7 条假设：

股票价格符合伊藤过程 $\frac{ dS }{ S } = \mu ~dt + \sigma ~dz$
允许卖空证券并充分利用收益
没有交易费用和税，所有证券完全可分割
在期权期限内，股票不支付股息
不存在无风险套利机会
证券交易连续进行
无风险利率 $r$ 是常数并且对所有期限相同

注意，这其中并不包含风险中性假设。从根本上讲，风险中性假设只是一个数学上的求解技巧，即使不使用这个技巧，一样可以通过暴力求解 PDE 得到同样的结果（Feynman-Kac Theorem）。这一点非常重要，因为真实世界明显不是风险中性的，BSM 公式也不可能基于这么一个不靠谱的假设。

14.6 Black-Scholes-Merton 微分方程

根据假设，股票的价格服从以下伊藤过程：

\[\frac{ dS }{ S } = \mu ~dt + \sigma ~dz\]

我们的目标，也就是以该股票为标的物的看涨期权的价格 $C$ 肯定是 $S$ 和 $t$ 的函数。根据伊藤引理，得到：

\[dC = (\frac{ \partial C}{ \partial S} \mu S + \frac{ \partial C}{ \partial t} + \frac{1}{2} \frac{ \partial^2 C}{ \partial S^2} \sigma^2 S^2)~dt + \frac{ \partial C}{ \partial S}\sigma S~dz\]

这是一个随机微分方程，我们很难直接求解。于是我们希望利用 $S$ 和 $C$ 的线性组合消去其随机项。

构造一个 portfolio $V = Q_S S + Q_C C$，其中 $Q_S$ 和 $Q_C$ 分别是股票和看涨期权的数量。为了消除随机项 $dz$，我们需要：

\[Q_S \sigma S + Q_C \frac{\partial C}{\partial S}\sigma S = 0\]

我们可以令 $Q_S = \frac{\partial C}{\partial S}$，$Q_C = -1$。

值得注意的是，我们通过这样实际构造了一个无风险的 portfolio，同时，股票的数量也是 Greeks 里面的 delta。 由于这是一个无风险的 portfolio，其波动率为 0，期望收益等于无风险利率 $r$。因此：

\[dV = rVdt\]

并且

\[dV = Q_S~dS +Q_C~dC\]

带入得：

\[\frac{\partial C}{\partial S} rS + \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 = rC\]

这就是 Black-Scholes-Merton 微分方程。这个方程的精妙之处在于我们消掉了随机项和期望收益率 $\mu$ 这两个非常复杂的部分。

这个方程有很多解，对应于各种衍生品。假设一个衍生品不满足这个微分方程，例如$e^S$，则该衍生品不可能存在，因为一定存在套利机会。

14.7 风险中性定价

我们注意到，推导出的 Black-Scholes-Merton 微分方程不含期望收益 $\mu$，这也从证明了我们在用二叉树进行定价时的风险中性假设的正确性。因为它与投资人的风险偏好无关。我们就可以放心使用风险中性假设简化计算。

假设从标的物获得的期望收益就是无风险利率$r$
计算衍生品的期望的 payoff
将期望的 payoff 折现，折现率也等于无风险利率 $r$

例

假设一个远期合约多头到期日为$T$，执行价格为$K$，目前现货价格是 $S_0$，无风险利率为 $r$，则远期合约价格为？

假设到期日标的物价格为 $S_T$，则利用以上三个步骤，可以得到：

\[f = e^{-rT}~E(S_T- K) = e^{-rT}E(S_T) - Ke^{-rT}\]

由于我们的期望收益率为无风险利率 $r$，则有 $E(S_T) = S_0 e^{rT}$，带入可以得到：

\[f = S_0 - Ke^{-rT}\]

这符合我们利用无套利假设得出的结论。

14.8 Black-Scholes-Merton 定价公式

在这里，我们将利用风险中性定价原理来推导 BSM 定价公式。这样可以避免解偏微分方程的复杂度。

14.8.1 计算 payoff 期望

以欧式看涨期权为例，其在到期日 $T$ 的 payoff 为 $f =\max(S-K, 0)$。它的价格应该为 payoff 的期望折现后的值。因此问题转化为求：

\[E(\max(S-K, 0)) = \int_{K}^{\infty}(S-K)g(S)~dS\]

其中 $g(S)$ 代表股票价格为 $S$ 的概率。那么如何得到 $g(S)$ 呢？

我们已经假设 $S$ 服从伊藤过程：

\[\frac{ dS }{ S } = \mu ~dt + \sigma ~dz\]

令 $G = \ln(S)$，由伊藤引理，可以得到：

\[dG = (\mu - \frac{ 1 }{ 2 } \sigma^2)~dt + \sigma~dz\]

因此股票价格 取对数后 的变化量 $\ln(S_T) - \ln(S_0)$ 服从正态分布 $N((\mu-\frac{1}{2} \sigma^2)T, \sigma^2 T)$。

为了表示方便，我们记作 $\ln(S_T)$ 服从 $N(m, w^2)$。

令 $Q = \frac{ \ln(S) - m}{ w}$，则 $Q$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。并有 $S = e^{Qw + m}$。

我们可以将 payoff 期望改写为：

\[E( \max(S-K, 0)) = \int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty}(e^{Qw + m}-K)h(Q)~dQ\]

分为两部分：

\[E(\max(S-K, 0)) = \int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty}e^{Qw + m}h(Q)~dQ - K\int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty}h(Q)~dQ\]

其中$h(Q)$ 为标准正态分布密度函数：

\[h(Q) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2\pi} } e^{ -\frac{ Q^2 }{ 2 } }\]

我们将该式代入第一部分，得到：

\[\int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty}e^{Qw + m}h(Q)~dQ = e^{m+\frac{ w^2 }{ 2 }} \int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty} h(Q-w)~dQ\]

假设$\Phi(x)$表示标准正态分布变量小于 $x$ 的概率，则：

\[\int_{(\ln(K)-m)/w}^{\infty} h(Q-w)~dQ = 1-\Phi(\frac{ \ln(K) - m}{w} - w) = \Phi(w - \frac{\ln(K) - m}{w} )\]

同理，对于第二部分，有：

\[\int_{ (\ln(K)-m)/w}^{ \infty}h(Q)~dQ = \Phi(-\frac{ \ln(K) - m}{ w})\]

其中：

\[m = \ln(S_0) + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)T\]

\[w = \sigma \sqrt{T}\]

因此得出结论：

\[E(\max(S-K, 0)) = S_0 e^{\mu T}\Phi(d_1) - K\Phi(d_2)\]

其中：

\[d_1 = \frac{\ln(\frac{S_0}{K}) + (\mu + \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}\]

\[d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\]

14.8.2 应用风险中性假设

我们在 14.7 中已经证明了可以使用风险中性定价。那么期望收益 $\mu$ 和贴现率都等于无风险利率 $r$。代入 14.8.1 得出的 payoff，贴现后得出该欧式看涨期权价格：

\[c = S_0 \Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2)\]

其中：

\[ d_1 = \frac{ \ln(\frac{S_0}{K} ) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}} \]

\[d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} = \frac{\ln(\frac{S_0}{K})+(r - \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}\]

利用 put-call-parity：

\[c + Ke^{-rT} = p + S_0\]

可以算出对应的欧式看跌期权的价格：

\[p = Ke^{-rT}\Phi(-d_2) - S_0 \Phi(-d_1)\]

例 1

某欧式看跌期权执行价格为 50$，期限为 3 个月。标的股票当前价格为 50$，波动率为 30%每年。无风险利率为 10% 每年。计算该欧式看跌期权的价格。如果在 2 个月后将派发 1.5$ 的股息，结果会如何变化？

将 $K = 50$，$S_0 = 50$， $r = 0.1$， $\sigma = 0.3$， $T=0.25$代入 BSM 公式。可以得到：

\[ p = 50 \times e^{- 0.1 \times 0.25}\Phi(-d_2) - 50\Phi(-d_1)\]

其中：

\[d_1 = \frac{ \ln(\frac{50}{50}) + (0.1 + \frac{ 1 }{ 2 } \times 0.3^2)\times0.25 }{ 0.3 \times \sqrt{0.25} } = \frac{ 29 }{120}\]

\[d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} = \frac{11} {120}\]

有 $\Phi(-d_1) = 0.4052$， $\Phi(-d_2) = 0.4641$。

因此 $p = 2.372$。

如果两个月后会派发股息，说明现在的股票价格中包含了股息贴现后的价值。在应用 BSM 公式之前，我们需要先将其去掉。因此：

\[S = 50 - 1.5e^{-2/12 \times 0.1} = 48.5248\]

再按照以上的方法计算，得到 $d_1 = 0.042$ $d_2 = -0.108$。

\[p = 50 \times e^{- 0.1 \times 0.25}\Phi(-d_2) - 48.5248\Phi(-d_1) = 3.033\]

这符合我们之前的结论，对于派发股息的股票，看跌期权价值会升高

例 2

股票价格为 $40，期望回报率为 15%，波动率为 25%。则 2 年收益率的概率分布是什么？

股票价格变化满足对数正态分布，即：

\[\ln( \frac{S_T}{S_0} ) \sim N(( \mu - \frac{\sigma^2}{2} )T, ~\sigma^2 T)\]

假设要求的收益率为 $r$，满足：

\[S_T = S_0e^{rT}\]

则显然

\[r = \frac{1}{T} \ln(\frac{S_T}{S_0}) \sim N(\mu - \frac{\sigma^2} {2}, \frac{\sigma^2}{T})\]

因此收益率的分布为$N(0.11875, 0.03125)$。

例 3

某股票价格服从几何布朗运动，期望回报率为 16%，波动率为 35%，当前价格为 $38。 (a). 某欧式看涨期权执行价格为 $40，到期日为 6 个月后，求它行权的概率。 (b). 与(a)中对应的欧式看跌期权的行权概率是多少

已知股票价格符合几何布朗运动，即满足：

\[\ln(\frac{S_T}{S_0}) \sim N((\mu - \frac{\sigma^2}{2} )T, ~\sigma^2 T)\]

那么有：

\[\frac{ \ln(\frac{S_T}{S_0}) - (\mu - \frac{ \sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} \sim N(0, 1)\]

求行权概率实质上是求 $S_T > K$ 的概率。因此：

\[ P(S_T > K) = 1-\Phi(\frac{\ln(\frac{K}{S_0}) - (\mu - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}) = \Phi(-\frac{\ln(\frac{K}{S_0}) - (\mu - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}})\]

代入 $K = 40$ $S_0 = 38$ $\mu = 0.16$ $\sigma = 0.35$ $T = 0.5$，得到该欧式看涨期权行权概率为 $\Phi(- 0.007751) = 0.496$。

看跌期权行权概率即 $S_T < K$ 的概率，即 $1 - 0.496 = 0.504$。

例 4

考虑一个衍生品，其在$T$ 时刻 payoff 为 $S_T ^n$，其中 $S_T$ 是标的股票在 $T$ 时刻价格，服从几何布朗运动。它在 $t$ 时刻的价格可以表示为 $h(t,T)S^n$，其中 $S$ 表示 $t$ 时刻股票价格，$h$ 是关于 $t$ 和 $T$ 的函数。
(a) 利用 BSM 偏微分方程推导 $h(t, T)$ 的微分方程
(b) $h(t, T)$的边界条件是什么
(c) 求出 $h(t, T)$

(a) 将价格表示为 $f = h(t,T)S^n$。则该价格满足微分方程：

\[\frac{ \partial f}{ \partial t} + \frac{ \partial f}{ \partial S}rS + \frac{1}{2}\frac{ \partial^2 f}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 = rf\]

我们可以算出

\[\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial h}{\partial t}S^n\]

\[\frac{\partial f}{\partial S} = nhS^{n-1}\]

\[\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = n(n-1)hS^{n-2}\]

代入有：

\[\frac{ \partial h}{ \partial t} + (n-1)rh + \frac{1}{2}n(n-1)\sigma^2h = 0\]

(b)

$h(t, T)$ 满足边界条件 $h(t, T) |_{t=T} = 1$

(c)

上式满足

\[\frac{h'}{h} = - (n-1)r - \frac{1}{2}n(n-1)\sigma^2\]

令 $x = \ln(h)$，则有：

\[x' = - (n-1)r - \frac{ 1}{2}n(n-1)\sigma^2 \]

得出

\[x = [- (n-1)r - \frac{1}{2} n(n-1) \sigma^2]t + C\]

其中 $C$ 为常数。再根据边界条件 $x|_{t=T} = \ln(1) = 0$，得出：

\[x = [(n-1)r + \frac{ 1}{2}n(n-1)\sigma^2](T-t)\]

因此：

\[h(t, T) = e^{[(n-1)r + \frac{1}{2}n(n-1)\sigma^2](T-t)}\]

例 5

(a) 证明：在风险中性世界中，一个欧式看涨期权被行权的概率等于$\Phi(d_2)$。
(b) 假设一个衍生品 payoff 为 $100 如果股票价格 $S$ 大于 $K$，求该衍生品的价格。

(a)

欧式看涨期权被行权的概率是 $P(S_T > K)$。而 $S_T$ 满足：

\[\ln(S_T) \sim N(\ln(S_0) + (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)T, \sigma^2 T)\]

由于对数函数的单调性，$P(S_T > K) = P(\ln(S_T) > \ln(K))$，且在风险中性世界中，有 $\mu = r$，则：

\[P(S_T > K) = 1 - \Phi(\frac{\ln(K) - \ln(S_0) - (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}) = 1 - \Phi(-d_2) = \Phi(d_2)\]

(b)

利用上面的结论，可以得到该衍生品收益期望为 $100 \Phi(d_2)$，贴现后的即为当前价格：

\[100e^{-rT}\Phi(d_2)\]

例 6

某银行的某款理财产品保证投资者在 6 个月后得到：
a. 0，如果股指下跌
b. 40% 股指收益
用股指期权来描述该产品的收益。
假设无风险利率是 8%，股息是 3%，波动率是 25%，这个理财产品值得买吗？

假设目前股指是 $S_0$，6 个月后股指为 $S_t$。我们可以知道其收益为：

\[\max(0, 0.4(S_t - S_0))\]

因此其实际上是相当于 0.4 倍的执行价格为 $S_0$ 的欧式看涨期权的收益。

我们可以计算执行价格为 $S_0$，到期日为 6 个月的欧式期权的价值：

\[c = S_0e^{-qT}\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2)\]

其中

\[d_1 = \frac{\ln(\frac{S_0}{K})+(r - q + \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}\]

\[d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\]

将$K = S_0$，$T = 0.5$，$q = 0.03$，$r = 0.08$，$\sigma = 0.25$代入：

\[c = 0.0814S_0\]

假设投资金额为 $M$，该理财产品的现金流相当于在 0 时刻，免费获得了 $0.4 \frac{M}{S_0}$ 份看涨期权，其代价是剩余的资金无法赚取无风险利率。我们需要比较期权的价格以及无风险利率的收益。

现在我们假设有两个 portfolio A 和 B。 - A：全额购买该理财产品 - B：购买了 $0.4 \frac{M}{ S_0}$ 份看涨期权，剩余资金用于赚取无风险利率

显然 B 购买的期权具有和 A 完全一致的 payoff。我们只需要比较其余资金。

对于 A，六个月后会获得 $M$ 外加 payoff。

对于 B，除了与 A 一致的 payoff，还有：

\[(M - 0.4 \frac{ M }{ S_0 } c)e^{rT} = 1.007 M > M\]

因此显然该理财产品不划算。

14.4 计算历史波动率 $\sigma$

在 B-S-M 模型中，唯一难以确定的参数就是波动率 $\sigma$。在实际中，不能直接使用历史波动率，但是可以作为重要参考。以下提到的波动率都指历史波动率，而非实际（隐含）波动率。

$\sigma$ 用于衡量股票回报率的不确定性。我们将波动率 $\sigma$ 定义为 连续复利下股票 1 年中回报率的标准差。它一般在 15% 到 60% 之间。

连续复利下的股票回报率可以表示为：

\[x = \frac{1}{T} \ln( \frac{S_T}{S_0} )\]

我们已经假设：

\[\ln(S_T)-\ln(S_0) \sim N( (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)T, \sigma^2 T)\]

因此回报率满足：

\[x \sim N(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2, \frac{\sigma^2}{T})\]

假设我们已经知道以某个较小采样间隔（例如每周） $\Delta t$ 的股票回报率历史数据，我们可以估计其方差 $D$。

假设第 $i$ 个 $\Delta t$ 内的回报率为 $u_i$，其平均值为 $\overline{u}$。对于方差 $D$ 的无偏估计可以表示为：

\[\hat{D} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (u_i - \overline{u})^2\]

也可以写为：

\[ \hat{D} = \frac{ 1}{n-1} [ \sum_{i = 1}^n u_i^2 - n \overline{u}^2] \]

然后根据下式求波动率的估计：

\[\hat{\sigma} = \sqrt{\hat{D}~T}\]

这个 $T$ 表示一年时间，假设 $\Delta t$ 是周，那么 $T = 365/7 = 52$。

例 1

假设我们观察到某个股票在连续 15 个周五的价格为：30.2; 32.0; 31.1; 30.1; 30.2; 30.3; 30.6; 33.0; 32.9; 33.0; 33.5; 33.5; 33.7; 33.5; 33.2。 (a) 估算该股票的波动率 (b) 这个波动率的估计的标准差是多少？

#	股票价格($S$)	相对价格($S_{i+1}/S_i$)	周回报率($u = \ln(S_{i+1}/S_i)$)
1	30.2
2	32.0	1.05960	0.05789
3	31.1	0.97188	-0.02853
4	30.1	0.96785	-0.03268
5	30.2	1.00332	0.00332
6	30.3	1.00331	0.00331
7	30.6	1.00990	0.00985
8	33.0	1.07843	0.07551
9	32.9	0.99697	-0.00303
10	33.0	1.00304	0.00303
11	33.5	1.01515	0.01504
12	33.5	1.00000	0.00000
13	33.7	1.00597	0.00595
14	33.5	0.99407	-0.00595
15	33.2	0.99104	-0.00900

(a)

首先计算得到：

\[\sum_{i=1}^n u_i = 0.09471\]

\[\sum_{i=1}^n u_i^2 = 0.01145\]

计算得

\[\hat{D} = \frac{1}{13}(0.01145 - \frac{0.09471^2}{14}) = 0.0008315\]

\[\sigma = \sqrt{0.0008315 \times 52} = 0.208\]

(b)

这个估计本身的标准差为

\[ \frac{ \sigma}{ \sqrt{2n} } = \frac{0.208}{\sqrt{2 \times 14} } = 0.0393\]