Wiener processes and Ito’s lemma

若某一变量的以一种不确定的方式随时间变化，我们称它服从某种随机过程（stochastic process）。随机过程可以分为离散时间和连续时间两类。而变量本身也可以分为连续变量和离散变量两类。

本章我们将导出股票价格的连续变量，连续时间的随机过程。

13.1 马尔科夫性质

Markov Process 是一种特殊的随机过程。在该过程中，只有当前的值与未来的预测相关。

我们通常假设股票符合一个 Markov Process。即我们对股票未来价格的预测只和股票当前价格有关，与一周前，一年前的价格无关。

这也符合弱型市场有效性（the weak form of market efficiency）。它指出，一种股票的当前价格包含过去价格的所有信息。如果弱型市场有效性不成立，则分析师可以通过历史数据获得高于平均收益率的收益。事实上，现实中我们没有任何证据证明可以做到这一点。

13.2 连续时间随机过程

假设一个变量服从 Markov Process。它现在的值是 10，在一年中的变化满足正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)。那么它在 2 年中的变化的概率分布是什么？

假设在第 1 年中的变化是 \(x_1\)，第二年中的变化是 \(x_2\)。假设两者相互独立。

显然，\(x_1\)和 \(x_2\) 都服从 \(N(\mu, \sigma^2)\)。则两者的和服从分布 \(N(2\mu, 2\sigma^2)\)。

同理，0.5 年中的变化的概率分布为 \(N(0.5\mu, 0.5\sigma^2)\)。

结论是，变量在任意时间段 \(T\) （以年为单位）变化的分布服从 \(N(\mu T, \sigma^2 T)\)。

证明

均值部分很简单，可以稍微证明一下方差部分。

已知 \(D(x_1)\) 和 \(D(x_2)\)，且\(x_1\)，\(x_2\) 相互独立，求\(D(x_1 + x_2)\) 。

将 \(D(x_1 + x_2)\) 做如下变形：

\[\begin{align} D(x_1 + x_2) &= E[(x_1+x_2)^2] - [E(x_1+x_2)]^2 \\ &= D(x_1) + D(x_2) + 2E(x_1 x_2) - 2E(x_1)E(x_2) \end{align}\]

由于 \(x_1\)，\(x_2\) 相互独立，有：

\[COV(x_1,x_2) = E(x_1 x_2) - E(x_1)E(x_2) = 0\]

因此有：

\[D(x_1 + x_2) = D(x_1) + D(x_2)\]

12.2.1 维纳过程

如果我们令以上变化的期望 \(\mu = 0\)，\(\sigma = 1\)，我们就得到 维纳过程(Wiener Process)。它在物理学中被用来描述某个粒子受到大量分子碰撞的运动，也被称作 布朗运动(Brownian Motion)。

严格来讲，一个服从维纳过程的变量 \(z\) 具有如下两条性质：

1. 变化量 \(\Delta z\) 在一个小的时间 \(\Delta t\) 中符合：

\[\Delta z = \epsilon\sqrt{\Delta t}\]

其中\(\epsilon\) 服从标准正态分布 \(N(0,1)\)

1. 变化量 \(\Delta z\) 在任意两个不同的时间段独立

广义维纳过程

目前我们讨论的维纳过程中，对 \(z\) 未来时刻的期望总是等于它的初值。我们将其做一定推广，即对其叠加一个随时间变动的因子\(a~dt\)：

\[dx = a~dt + b~dz\]

其中，\(a~dt\) 表示 \(x\) 单位时间内漂移速度为 \(a\)。 \(b~dz\) 表示噪声，该噪声的变动是 \(b\) 倍的维纳过程，即服从\(N(0, b^2)\)。

在一个很短的时间 \(\Delta t\) 中，\(x\) 的变动 \(\Delta x\) 可以写为：

\[\Delta x = a \Delta t + b \epsilon \sqrt{\Delta t}\]

因此，在 \(T\) 时刻它服从正态分布 \(N(aT, b^2T)\)。

一个典型的广义维纳过程如下所示：

例

一个公司的现金服从广义维纳过程，drift 为 0.5 每季度，方差是 4.0 每季度。该公司需要多少初始现金才能保证 1 年后现金为负的概率小于 5%？

根据上面广义维纳过程的推论，假设其初始现金是\(m_0\)，1 年后现金 \(m\) 服从 \(N(m_0 + 4 \times 0.5, 4 \times 4)\)。

假设 \(\epsilon\) 服从标准正态分布 \(N(0,1)\)，显然 \(m = m_0 + 2 + 4\epsilon\)。

因此问题转化为 \(P(m < 0) = P(\epsilon < -\frac{m_0+2}{4})\leq 0.05\)。

查标准正态分布表得到 \(P(\epsilon < 1.65) = 0.9505\)，因此 \(P(\epsilon < -1.65) = 0.0495\)。因此有\(m_0 = 4.6\)。即需要初始资金 4.6 百万美元。

12.2.2 伊藤过程

当广义维纳过程中的 \(a\)，\(b\) 不是常数，而是关于\((x,t)\) 的函数时，就变为了一个伊藤过程：

\[dx = a(x,t)~dt + b(x,t)~dz\]

在一个很短的时间 \(\Delta t\) 内，假设 \(a\) 和 \(b\) 在 \(t\) 到 \(t+\Delta t\)中保持不变，我们有：

\[\Delta x = a(x, t)~\Delta t + b(x,t) \epsilon \sqrt{\Delta t}\]

12.3 描述股价变化的过程

假设我们对股票的期望收益率为 \(\mu\)，则经过一个很短的时间 \(\Delta t\)，我们期望的股票价值是 \(\mu S \Delta t\)。利用伊藤过程来理解，则股票价格的漂移速度 (drift rate) 是 \(\mu S\)。

如果我们不考虑任何扰动，即股票价格总按照期望上涨。则可以计算：

\[\frac{dS}{dt} = \mu S\]

将 S 从 0 至 T 积分，可以得出：

\[S_T = S_0 e^{\mu T}\]

现实中肯定是存在扰动的，我们一般假设扰动与股票价格成正比，假设比例是\(\sigma\)，则我们得到以下伊藤过程：

\[dS = \mu S dt + \sigma S dz \]

即：

\[\frac{ dS}{ S} = \mu dt + \sigma dz\]

其离散时间模型为：

\[\frac{\Delta S}{S} = \mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t}\]

可以发现 \(\frac{ \Delta S }{ S }\) 服从正态分布 \(N(\mu \Delta t, \sigma^2 \Delta t)\)。

其中： - \(\mu\)：股票的期望回报率，在风险中性假设下，\(\mu\) 等于无风险利率 \(r\) - \(\sigma\): 股票价格的波动率

例

分析以上股票价格变化过程与下面三个过程的区别，并解释为什么上述模型更好。
\(\Delta S = \mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t}\)
\(\Delta S = \mu S \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t}\)
\(\Delta S = \mu \Delta t + \sigma S \epsilon \sqrt{\Delta t}\)

股票价格的预期增长量和变化量都应该与股票当时价格成正比。因此以上过程都不如下式的描述准确

\[\frac{\Delta S}{S} = \mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t}\]

12.6 伊藤引理

若变量 x 符合以下伊藤过程：

\[dx = a(x,t)~dt + b(x,t)~dz\]

那么关于 \(x\) 和 \(t\) 的可微函数 \(G(x,t)\) 遵循以下伊藤过程：

\[dG = (\frac{\partial G}{\partial x}a + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2)~dt + \frac{\partial G}{\partial x}b~dz\]

证明

根据多元泰勒展开公式，对 \(G(x,t)\) 作二阶展开，得：

\[\Delta G = \frac{\partial G}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial G}{\partial t}\Delta t + \frac{1}{2!}(\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}\Delta x^2 + 2\frac{\partial^2 G}{\partial x \partial t}\Delta x \Delta t + \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}\Delta t^2)\]

由于 \(\Delta x\) 也是 \(\Delta t\) 的函数：

\[\Delta x = a(x,t)~\Delta t + b(x,t) \epsilon \sqrt{\Delta t}\]

忽略 \(\Delta t\) 的高阶无穷小 \(o(\Delta t)\)，可得：

\[\Delta x^2 = b^2(x,t) \epsilon^2 \Delta t \]

由于 \(\epsilon\) 服从 \(N(0,1)\)，可知 \(\epsilon^2\) 服从 \(\chi^2_1\)，其中 \(\chi^2_n\) 是卡方分布，满足 \(E(\chi^2_n) = n\)，\(D(\chi^2_n) = 2n\)。

因此，对于 \(\epsilon^2 \Delta t\)，它的期望值是 \(\Delta t\)，方差是 \(2\Delta t^2\)。

就整个 \(\Delta G\) 来看：

\[\Delta G = \frac{\partial G}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial G}{\partial t}\Delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}\Delta x^2\]

由于 \(\Delta x\) 部分还有方差为 \(\Delta t\) 扰动，因此方差为 \(\Delta t^2\) 的扰动从数量级上就可以忽略。我们因此可以直接把 \(\epsilon^2\) 近似为常数，也就是它的期望值 1。得到：

\[\Delta G = \frac{ \partial G}{ \partial x}(a\Delta t + b \epsilon \sqrt{\Delta t}) + \frac{\partial G}{\partial t}\Delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2\Delta t\]

\[\Delta G = (\frac{\partial G}{\partial x}a + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2)\Delta t + \frac{\partial G}{\partial x} b \epsilon \sqrt{\Delta t}\]

也写作：

\[ dG = (\frac{\partial G}{\partial x}a + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2)~dt + \frac{\partial G}{\partial x} b~dz \]

应用：远期合约

对于远期合约，假设到期时间为 \(T\)，无风险利率为 \(r\)，当前时间为 \(t\)，当前现货价格为 \(S\)，则远期合约的执行价格应该为\(S\) 和 \(t\) 的函数（否则存在套利机会）：

\[F = Se^{r(T-t)}\]

如我们在 12.3 介绍的，假设 \(S\) 满足伊藤过程：

\[dS = \mu S dt + \sigma S dz \]

其中期望收益为 \(\mu\)，波动率为 \(\sigma\)。则 \(F\) 的价格变化过程可以利用伊藤引理确定。

\(\frac{ \partial F}{\partial S} = e^{r(T-t)}\)，\(\frac{\partial^2 F}{\partial S^2} = 0\)，\(\frac{\partial F}{\partial t} = -r S e^{r(T-t)}\)，带入伊藤引理有：

\[dF = (a - r S) e^{r(T-t)}~dt + e^{r(T-t)}b~dz \]

而，\(a\) 为期望收益 \(\mu S\)，\(b\) 为波动率 \(\sigma S\)，带入有：

\[dF = (\mu - r ) F~dt + \sigma F~dz\]

例1

假设 \(G(S, t)\) 是关于股票价格 \(S\) 和时间 \(t\) 的函数，\(\sigma_S\) 及 \(\sigma_G\) 分别为 \(S\) 和 \(G\) 的波动率，证明当 \(S\) 的期望回报上升 \(\lambda \sigma_S\) 时，\(G\) 的期望回报上升 \(\lambda \sigma_G\)，其中 \(\lambda\) 是常数。

假设 \(S\) 符合伊藤过程：

\[ dS = a~dt + b~dz\]

由伊藤引理可知：

\[ dG = (\frac{\partial G}{\partial x}a + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2)~dt + \frac{\partial G}{\partial x} b~dz \]

因此，波动率有如下关系：

\[ \sigma_G = \frac{ \partial G }{ \partial x } \sigma_S \]

若 \(S\) 的期望收益 \(a\) 上升了 \(\lambda \sigma_S\)，则显然有 \(G\) 的期望收益上升了 \(\frac{ \partial G }{\partial x } \lambda \sigma_S = \lambda \sigma_G\)。

例2

假设股票价格 \(S\) 服从几何布朗运动：
\(dS = \mu S~dt + \sigma S~dz\) 其中期望回报率是 \(\mu\)，波动率是 \(\sigma\)。证明 \(S^n\) 也服从几何布朗运动。

同样是伊藤引理的应用。令 \(G(S,t) = S^n\)。则有：

\[dG = (\frac{\partial G}{\partial S} a + \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial S^2}b^2)~dt + \frac{\partial G}{\partial S} b~dz\]

带入 \(a = \mu S\)，\(b = \sigma S\) 可得：

\[dG = (n\mu + \frac{ 1}{ 2} n(n-1)\sigma^2) G~dt + n \sigma G~dz\]

因此 \(S^n\) 与 \(S\) 具有同样的形式，也满足几何布朗运动。其期望的收益率为 \(n\mu + \frac{1}{2} n(n-1)\sigma^2\)，波动率为 \(n \sigma\)。