Portfolio Optimization with CVaR

我们已经在上一篇文章中介绍了 Markowitz 经典的用 variance 作为风险测度的不足：

1. 使用 variance 同时惩罚了下跌和上涨，但是我们实际只需要惩罚下跌的情况
2. 对参数（ 预期收益 $r$ 以及 risk matrix $\mathrm{\Sigma }$ ) 非常敏感

因此，JP Morgan 提出了 VaR (Value at Risk)，定义为 maximum loss with a specified confidence level，在指定概率 $\alpha$ (say, 0.95) 下损失 $\xi$ 的最大值：

$${\text{VaR}}_{\alpha }=inf\{{\xi }_0:P(\xi \le {\xi }_0)\le \alpha \}$$

($inf$ 指下界)。

这个衡量标准并未考虑当损失大于 ${\xi }_0$ 时的情况，并且，它是一个非凸函数，数学上不方便求解。作为其改进，CVaR 考虑了 $\xi$ 大于 VaR 的情况，并且是一个凸优化问题。

理论上，CVaR 是一个更理想的风险衡量标准。

1 Minimize CVaR Approach

我们以最小化 CVaR 为例讲解如何求这个优化问题：

$$\begin{array}{rlr}\underset{\mathbf{w}}{\arg min}& & {\text{CVaR}}_{\alpha }({\mathbf{w}}^T\mathbf{r})\\ \text{s.t.}& & {\mathbf{1}}^T\mathbf{w}=1\end{array}$$

其中：

$${\text{CVaR}}_{\alpha }({\mathbf{w}}^T\mathbf{r})=E[{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}|{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}\le {\text{VaR}}_{\alpha }({\mathbf{w}}^T\mathbf{r})]$$

当然，我们也可以简单将其扩展为其他形式，例如将目标函数改成：

$$\underset{\mathbf{w}}{\arg max}{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}-\lambda {\text{CVaR}}_{\alpha }({\mathbf{w}}^T\mathbf{r})$$

这样可以通过调节参数 $\lambda$ 控制风险偏好，不过这里暂时先讲最小化 CVaR 场景。

1.1 Auxiliary Function

首先我们引入辅助函数：

$$\begin{array}{rl}{F}_{\alpha }(\mathbf{w},\zeta )& =\zeta +\frac{1}{1-\alpha }E[(-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}-\zeta ){]}^{+}\\ & =\zeta +\frac{1}{1-\alpha }\underset{-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}>\zeta }{\int }(-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}-\zeta )P(\mathbf{r})d\mathbf{r}\end{array}$$

这是一个 连续可导的凸函数，其中 $[x{]}^{+}=max(x,0)$。

对 $\zeta$ 求导，并另导数为 0 以获得极值：

$$\begin{array}{rl}0& =\frac{\partial F}{\partial \zeta }\\ & =1-\frac{1}{1-\alpha }\underset{-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}>\zeta }{\int }P(\mathbf{r})d\mathbf{r}\\ & =1-\frac{1}{1-\alpha }\text{CDF}(\mathbf{r})\end{array}$$

即：

$$\text{CDF}(\mathbf{r})=P(-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}>\zeta )=1-\alpha$$

那么显然有在辅助函数取极值时，$\zeta ={\text{VaR}}_{\alpha }(-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r})$。

这个辅助函数的妙处在于：

1. 它是一个连续可导的凸函数，求解方便。
2. 在它取得极值时, VaR 和 CVaR 也自然得出：

$${\text{VaR}}_{\alpha }(-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r})={\zeta }^{\ast }$$

$${\text{CVaR}}_{\alpha }(-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r})=\underset{\zeta }{min}{F}_{\alpha }(\mathbf{w},\zeta )$$

因此，原本的 minimize CVaR 的问题转化为 minimize 这个辅助函数的问题。

1.2 Optimize The Auxiliary Function

由于这个“期望”的存在，优化该辅助函数是一个随机优化问题。我们可以通过采样获取其期望的估计。值得注意的是，这里的采样是对于历史回报率的采样。

假设我们对回报率 $r$ 采样了 T 个样本：

$$\begin{array}{rl}{F}_{\alpha }(\mathbf{w},\zeta )& =\zeta ++\frac{1}{1-\alpha }E[(-{\mathbf{w}}^T\mathbf{r}-\zeta ){]}^{+}\\ & \approx \zeta +\frac{1}{1-\alpha }\sum _{t=1}^T[(-{\mathbf{w}}^T{\mathbf{r}}_t-\zeta ){]}^{+}\end{array}$$

引入辅助变量：

$$z_t\ge [-{\mathbf{w}}^T{\mathbf{r}}_t-\zeta {]}^{+}$$

优化问题转化为：

$$\begin{array}{rlrl}\underset{\mathbf{w},\mathbf{z},\zeta }{\arg min}& & \zeta +\frac{1}{T(1-\alpha )}\sum _{t=1}^T{z}_t& \\ \text{s.t.}& & {\mathbf{1}}^T\mathbf{w}=1& \\ & & z_t\ge 0& \\ & & z_t\ge -{\mathbf{w}}^T{\mathbf{r}}_t-\zeta ,& \text{for}t=1,2,\dots ,T\end{array}$$

这是一个典型的线性优化问题，可以通过工具包求解。肉眼可以看出，这个优化问题的 约束条件与采样个数成正比。因此，计算量可能是一个不可忽略的隐患，在实际生产中值得注意。

1.3 Application Example

Mosek 是一款专业的商用优化求解器。它提供了一个 CVaR 优化的例子。

该例子中值得注意的部分是：

1. 我们首先用历史数据拟合出多个股票的回报率均值和协方差矩阵，再用这个两个值随机生成 T 个样本，而非直接使用历史数据作为样本。
2. 在实际交易中，我们一般有一个预测的回报率 r，它并不作为样本的一部分。

Reference

1. CVaR Portfolio Slides